多维 Mandelbrot 级联的矩

我们考虑分布方程 $\textbf{Z}\stackrel{d}{=}\sum_{k=1}^N\textbf{A}_k\textbf{Z}(k)$，其中 $N$ 是取值于 $\mathbb N_0=\{0,1,\cdots\}$ 的随机变量，$\textbf{A}_1,\textbf{A}_2,\cdots$ 是 $p\times p$ 非负随机矩阵，$\textbf{Z},\textbf{Z}(1),\textbf{Z}(2),\cdots$ 是 $\mathbb{R}_+^p$ 中的独立同分布随机向量（$\mathbb{R}_+=[0,\infty)$），且与 $(N,\textbf{A}_1,\textbf{A}_2,\cdots)$ 独立。令 $\{\mathbf Y_n\}$ 为由 Galton-Watson 树节点索引的随机矩阵乘积之和加上适当向量所定义的多维 Mandelbrot 鞅。其极限 $\mathbf Y$ 是上述方程的解。对于 $\alpha>1$，我们分别给出了 $\mathbb E\|\mathbf Y\|^\alpha\in(0,\infty)$ 的充分条件和必要条件。随后，对于上述方程的非退化解 $\mathbf Z$，我们展示了当 $\|\mathbf t\|\rightarrow\infty$ 时 $\mathbb E e^{-\mathbf t\cdot \mathbf Z}$ 的衰减速率，以及对于给定 $\mathbf y=(y^1,\cdots,y^p)\in \mathbb R_{+}^p$，当 $x\rightarrow 0$ 时尾部概率 $\mathbb P(\mathbf y\cdot \mathbf Z\leq x)$ 的衰减速率，并证明了 $\mathbf y\cdot \mathbf Z$ 的调和矩的存在性。作为应用，上述关于 $\mathbf Y$ 的矩（正阶和负阶）的结果被应用于一种特殊的多类型分支随机游走。此外，对于上述方程中所有向量和矩阵均为复数的情况，也建立了 Mandelbrot 鞅 $\{\mathbf Y_n\}$ 的 $L^\alpha$ 收敛性和 $\alpha$ 阶矩的充分条件。