随机加权树上的 Mandelbrot 级联与非线性平滑变换

我们考虑随机加权树上的复 Mandelbrot 乘法级联。在适当假设下，这产生了一个作用于具有有限二阶矩的随机加权均值不变律（即平滑变换的不动点）上的动力学 $\T$。此外，我们可以展示两种主要行为：若权重是守恒的，即几乎必然总和为 1，则我们找到初始律 $\mu$ 的一个域，使得轨道 $(\T^n\mu)_{n\ge 0}$ 满足非标准（泛函）中心极限定理（这在非平凡意义上完善了我们在正则树上非负 Mandelbrot 级联情形下的先前结果）。若权重是非守恒的，我们找到初始律 $\mu$ 的一个域，使得 $(\T^n\mu)_{n\ge 0}$ 收敛到一个非平凡随机变量的律，该律被证明是二次平滑变换的不动点，这自然地扩展了通常的（线性）平滑变换概念；此外，该极限律可构建为非负鞅的极限。同时，该动力学可被修正以构建更高阶平滑变换的不动点。