分段光滑连续映射的切换流形上不动点的稳定性

本文关注 $\mathbb{R}^d$ 上的分段光滑映射，这些映射在切换流形（映射的函数形式改变处）连续但不可微。在单侧导数局部有界的情景下，研究了切换流形上不动点的稳定性。不可微性允许不动点成为 Milnor 吸引子尽管不稳定。因此，除了标准稳定性概念外，还考虑了测度论的稳定性概念。当不动点在原点时，局部上该映射很好地由分段线性映射逼近，且该映射是线性齐次的。对于连续、线性齐次映射类以及这些映射的 $o({\bf x})$ 扰动，得到了原点指数稳定性的充分条件。展示了如何通过分析与 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上映射的不变概率测度来确定原点的稳定性。结果通过二维边界碰撞范式说明。即使映射的两个光滑分量都是面积扩张的，不动点也可能是渐近稳定的；即使它是 $\mathbb{R}^d$ 中几乎所有点的 $\omega$-极限集，也可能是不稳定的。