从稳定不动点到任意数量共存混沌吸引子的边界碰撞分岔

在多种物理系统中，稳定的振荡解会通过边界碰撞分岔退化为更复杂的动力学行为。从数学上看，当分段光滑映射的稳定不动点随着参数变化与切换流形碰撞时，就会发生这种情况。本文的目的是揭示后续动力学中可能出现的极端复杂性。我们扰动 $n \ge 2$ 维边界碰撞范式的一些实例，其第 $n$ 次迭代是相同斜帐篷映射的直接乘积，这些斜帐篷映射具有由 $k \ge 2$ 个不相交区间构成的混沌吸引子。所得到的映射具有共存吸引子，我们利用 Burnside 引理来计数通过取这些不相交区间的轻微放大的笛卡尔乘积之并所产生的互不相交的捕获区域的数量。通过证明映射的某次迭代是分段扩张的，表明这些吸引子是混沌的。所得到的从稳定不动点到多个共存混沌吸引子的转变被证明在参数空间的开放子集中处处发生，并且不会因在范式中加入高阶项而被破坏，因此可以预期其会在数学模型中普遍出现。