基于平均情形熵独立性的生成树与行列式点过程最优次线性采样

我们设计了用于重复采样强瑞利（strongly Rayleigh）分布的快速算法，其包含随机生成树分布与行列式点过程。对于图$G=(V, E)$，我们展示了如何在初始$\widetilde{O}(\lvert E\rvert)$时间预处理后，每次采样以$\widetilde{O}(\lvert V\rvert)$时间近似采样$G$的均匀随机生成树。对于基于$n$个元素基集上大小为$k$子集的行列式点过程，我们展示了如何在初始$\widetilde{O}(nk^{\omega-1})$时间预处理后以$\widetilde{O}(k^\omega)$时间近似采样，其中$\omega<2.372864$为矩阵乘法指数。我们甚至改进了从行列式点过程获取单个样本的最先进水平，将其先前行时间$\widetilde{O}(\min\{nk^2, n^\omega\})$提升至$\widetilde{O}(nk^{\omega-1})$。在我们的主要技术结果中，我们实现了强瑞利分布域稀疏化的最优极限。在域稀疏化中，从$\binom{[n]}{k}$上的分布$\mu$采样被归约为从$t\ll n$时$\binom{[t]}{k}$上的相关分布采样。我们展示对于强瑞利分布，可达到最优$t=\widetilde{O}(k)$。我们的归约涉及从$\widetilde{O}(1)$个域稀疏化分布采样，若便捷获取$\mu$边缘的近似高估，则均可高效生成。获取边缘类似于获取连续分布的均值与协方差，或知晓分布的“各向同性”，这是Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想及其基于它的最优采样器背后的关键假设。我们将该结果视为KLS猜想及其对采样之推论在离散强瑞利度量上的精神类比。