强 Rayleigh 分布的矩阵 Chernoff 界及由少量随机生成树得到的谱稀疏化子

强 Rayleigh 分布是一类二元值随机变量的负相依分布 [Borcea, Branden, Liggett JAMS 09]。近来，这些分布在基础图问题算法的分析中发挥了关键作用，例如旅行商问题 [Gharan, Saberi, Singh FOCS 11]。我们证明了强 Rayleigh 分布的一个新矩阵 Chernoff 界。作为一个直接应用，我们表明以高概率将 $\epsilon^{-2} \log^2 n$ 棵随机生成树的 Laplacian 相加，可给出图 Laplacian 的 $(1\pm \epsilon)$ 谱稀疏化子。因此，我们正面回答了 [Baston, Spielman, Srivastava, Teng JACM 13] 中提出的开放问题。我们用于谱稀疏化子的生成树数量与 [Fung, Hariharan, Harvey, Panigraphi STOC 11] 中获得割稀疏化子所需的生成树数量一致。先前最好的结果是通过朴素地应用经典矩阵 Chernoff 界，需要 $\epsilon^{-2} n \log n$ 棵生成树。为使树平均过程在期望上与原图 Laplacian 一致，树的每条边应按原图中边的杠杆分数之逆重新赋权。我们还表明，当使用此边重新赋权时，单棵随机树的 Laplacian 在高概率下被原图 Laplacian 乘以因子 $\log n$ 在 PSD 序上界住，即 $L_T \preceq O(\log n) L_G$。我们给出了一个几乎匹配我们上一结果的下界，即在某些图中，高概率下随机生成树在谱序上$\it{不}$被原图 Laplacian 的 $\frac{\log n}{\log\log n}$ 倍所上界。我们还表明，要得到 $(1\pm \epsilon)$ 谱稀疏化子，需要 $\epsilon^{-2} \log n$ 棵生成树是必要的。