基于多类型生成森林的正则化磁拉普拉斯稀疏化

本文中，我们考虑一个 ${\rm U}(1)$-联络图，即每条有向边赋予一个单位模复数、且在方向翻转下取共轭的图。组合拉普拉斯算子的自然替代于是磁拉普拉斯算子，一个包含图联络信息的厄米矩阵。磁拉普拉斯算子出现于例如角同步问题中。在大型稠密图的背景下，我们在此研究磁拉普拉斯 $\Delta$ 的稀疏化子，即基于少边子图的谱近似。我们的方法依赖使用定制行列式点过程（一种偏好多样性的边概率分布）采样多类型生成森林（MTSFs）。简而言之，MTSF 是一个生成子图，其连通分支为树或环根树。后者部分捕获联络图的角度不一致性，从而提供压缩联络中所含信息的方式。有趣的是，当联络图具有弱不一致环时，所考虑行列式点过程的样本可借由带环弹出的随机游走按 Wilson 方式获得。我们为联络拉普拉斯的自然估计量之一种选择提供了统计保证，并考察了稀疏化子的两个实际应用：角同步排序与基于图的半监督学习。从统计视角看，本文一个具独立意义的侧面结果是带内蕴维数的矩阵 Chernoff 界，其可考虑正则化——形如 $\Delta + q \mathbb{I}$（$q>0$）——对稀疏化保证的影响。