通过多层稀疏化子求解图拉普拉斯算子

我们考虑求解一般加权图拉普拉斯算子的有效预条件子。理论上，谱稀疏化子（SS）提供具有最优计算复杂度的预条件子。然而，由于实现上的复杂性，它们不易用于实际应用。相反，多重网格（MG）方法计算高效但缺乏理论依据。为弥合理论与实践之间的差距，我们采纳 MG 与 SS 方法的思想，提出了可在实践中使用且具理论保证的预条件子。我们基于多层结构扩展原图以获得等价的扩展图。尽管扩展图直径小（利于构造 SS 的性质），但它带有负权边（不利于 SS 的性质）。我们设计了一种算法以恰当消除负权边，并证明所得带正权边的扩展图与原扩展图、进而与原图谱等价。由于正权扩展图预条件子（PEGP）的低直径性质，现有寻找 SS 的算法可轻易应用。为展示使用 PEGP 的优势，我们提出一类 SS——多层稀疏化子预条件子（MSP），其可以简单且确定的方式构造。我们提供了一些初步数值实验以验证理论发现，并说明 PEGP 与 MSP 在真实应用中的实际有效性。