稀疏随机图：拉普拉斯矩阵的正则化与集中

我们研究在期望度有界的具有挑战性的稀疏情形下，具有可能不同边概率的随机图。与稠密情况不同，由于节点度的高度不规则分布，图邻接矩阵及其拉普拉斯矩阵均不围绕其期望集中。经验观察到，简单地向邻接矩阵每个条目添加阶为 $1/n$ 的常数可显著改善拉普拉斯矩阵的行为。在此我们证明该正则化确实迫使拉普拉斯矩阵即使在稀疏图中也集中。作为网络分析中的直接结果，我们确立了在随机块模型下最简单的且最快的社区检测方法之一——正则化谱聚类的有效性。我们对正则化拉普拉斯矩阵集中性的证明基于 Grothendieck 不等式与因式分解，并结合铺砌论证。