强 Rayleigh 测度的 Kadison-Singer 问题及其在非对称 TSP 中的应用

Marcus、Spielman 和 Srivastava 在其开创性工作 \cite{MSS13} 中通过证明以下结论解决了 Kadison-Singer 猜想：对于任意一组有限支撑、独立分布的随机向量 $v_1,\dots, v_n$，若其具有“小”的期望平方范数且处于（期望意义下的）各向同性位置，则存在正概率使得和 $\sum v_i v_i^\intercal$ 具有小谱范数。他们的证明关键性地利用了多项式的实稳定性，这是单变量多项式实根性到多变量多项式的自然推广。强 Rayleigh 分布是一类生成多项式为实稳定的概率分布族 \cite{BBL09}。由于独立分布仅是强 Rayleigh 测度的特例，一个自然的问题是：\cite{MSS13} 中的主要定理能否推广至分配给强 Rayleigh 分布元素的向量族。在本文中，我们肯定地回答了这一问题；我们证明了对于任意边际概率以 $\epsilon_1$ 为上界的齐次强 Rayleigh 分布，以及任意分配给底层元素且范数至多为 $\sqrt{\epsilon_2}$ 的各向同性向量集，在该分布的支撑集中存在一个子集，使得分配给该子集元素的向量其自然二次型之和的谱范数至多为 $O(\epsilon_1+\epsilon_2)$。我们利用该定理提供了谱细树存在的充分条件。结合作者近期的工作 \cite{AO14}，这为非对称旅行商问题（Asymmetric Traveling Salesman Problem）自然线性规划松弛的整数性间隙提供了改进的上界。