Kadison-Singer 型结果的双曲推广

2013 年，Marcus、Spielman 和 Srivastava 解决了著名的 Kadison-Singer 猜想。该猜想指出，对于 $n$ 个独立随机向量 $v_1,\cdots, v_n$，其期望平方范数以 $\epsilon$ 为界且在期望意义下处于各向同性位置，则以正概率使得行列式多项式 $\det(xI - \sum_{i=1}^n v_iv_i^\top)$ 的根以 $(1 + \sqrt{\epsilon})^2$ 为界。Kadison-Singer 定理的一种解释是，我们总能找到将向量 $v_1,\cdots,v_n$ 划分为两组的方式，使得在谱范数意义下差异较小（换言之，依赖于行列式多项式）。在本文中，我们针对更广泛的多项式类——双曲多项式，给出两个结果。此外，我们的结果处于两种推广设定中：$\bullet$ 第一个表明 Kadison-Singer 结果仅需更弱的假设，即向量具有有界的双曲范数之和。$\bullet$ 第二个将 Kadison-Singer 结果的分布假设放宽至强瑞利（Strongly Rayleigh）分布。据我们所知，先前结果仅支持行列式多项式 [Anari and Oveis Gharan'14, Kyng, Luh and Song'20]。尚不清楚它们能否推广至更广泛的多项式类。此外，我们还提供了用于构造我们结果的亚指数时间算法。