生成树拥塞与广义 Győri-Lovász 划分的计算

我们研究图稀疏化中的一个自然问题——生成树拥塞（Spanning Tree Congestion, STC）问题。非正式地说，STC 问题寻求一棵生成树，使得没有树边“路由”过多原始边。该问题的根源至少可追溯到 30 年前，其动机来自网络设计、并行计算和电路设计中的应用。该问题的变体也作为若干重要图算法预处理步骤的算法应用而出现。对于任意具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的通用连通图，我们证明其 STC 至多为 $\mathcal{O}(\sqrt{mn})$，这是渐近最优的，因为我们也展示了 STC 至少为 $\Omega(\sqrt{mn})$ 的图。我们提出一种多项式时间算法，可计算拥塞为 $\mathcal{O}(\sqrt{mn}\cdot \log n)$ 的生成树。我们还提出另一种计算拥塞为 $\mathcal{O}(\sqrt{mn})$ 的生成树的算法；当 $m = \omega(n \log^2 n)$ 时，该算法在亚指数时间内运行。为达成上述结果，一个重要的中间定理是广义 Győri-Lovász 定理，Chen 等人曾给出其非构造性证明。我们给出首个初等且构造性的证明，通过提供运行时间为 $\mathcal{O}^*\left( 4^n \right)$ 的局部搜索算法，这是上述亚指数时间算法的关键组成部分。我们讨论该定理关于图划分的若干推论，这些推论可能具有独立意义。我们还证明，对于任意满足某些扩张性质（expanding properties）的图，其 STC 至多为 $\mathcal{O}(n)$，且相应的生成树可在多项式时间内计算。我们随后利用此结论证明随机图以高概率具有 STC $\Theta(n)$。