具有对称性的流形上 $G_{2}$-结构的修正拉普拉斯余流

我们考虑定义在 $7$ 维流形上的 $G_{2}$-结构，这些流形是一个区间与一个六维流形的翘曲积，该六维流形或是卡拉比-丘流形，或是近凯勒流形。我们证明在这些情况下，$G_{2}$-结构由其挠率分量决定，至多相差一个相位因子。然后我们研究这些 $G_{2}$-结构的修正拉普拉斯余流 $\frac{d\psi }{dt}=\Delta _{\psi }\psi +2d\left( \left( C-Tr T\right) \varphi \right)$，其中 $\varphi$ 和 $\psi$ 是定义 $G_{2}$-结构的基本 $3$-形式与 $4$-形式，$\Delta _{\psi }$ 是与 $G_{2}$-结构相关的霍奇拉普拉斯算子。已知该流具有短时间存在唯一性。我们分析该流的自相似解方程并得到新的紧孤子解。