$G_2$-结构等距流中的余齐性一孤立子

我们考虑了在以下无挠 $G_2$-流形类上，$G_2$-结构等距流的余齐性一孤立子的存在性：具有标准 $G_2$-结构的欧几里得空间 $R^7$、Calabi-Yau 3-流形上的度量柱面、近 Kähler 6-流形上的度量锥面，以及 Bryant-Salamon $G_2$-流形。在所有情况下，我们都证明了等距孤立子方程全局解的存在性，并确定了挠率的渐近行为。特别是，我们证明了 $R^7$ 上收缩等距孤立子的存在性，这支持了等距流可能存在 I 型奇点的猜想。在每种情况下，对孤立子方程的研究都归结为一个具有正则奇点的特定非线性常微分方程，我们对此进行了仔细的分析。最后，为了简化每种情况下相关方程的推导，我们首先为向量丛全空间上的一般类余齐性一度量建立了几个有用的黎曼几何公式，这些公式应具有更广泛的应用，因为此类度量经常作为特殊和乐度量的显式例子出现。