左不变 Hitchin 流和 hypo 流的边界行为

我们研究了 $5$-、$6$- 和 $7$-维李群上的左不变 Hitchin 流和 hypo 流。它们分别提供了高出一维的黎曼余齐性一流形，其和乐群分别包含于 $SU(3)$、$G_2$ 和 $Spin(7)$ 中，这些流形通常测地不完备。推广 Conti 的结果，我们证明对于大类的可解李群 $G$，这些流形无法被完备化：关于 $G$ 余齐性为一且具有平行 $SU(3)$-、$G_2$- 或 $Spin(7)$-结构的完备黎曼流形是平坦的，且没有奇异轨道。此外，我们在非紧李群 $SL(2,C)$ 上分类了所有关于最大紧子群 $SU(2)$ 双不变的半平坦 $SU(3)$-结构，并求解了针对这些初值的 Hitchin 流。结果表明，流往往在一个方向上坍缩为一个光滑流形。通过这种方式，我们恢复了 Bryant 和 Salamon 所描述的扭曲积 $SL(2,C)\times_{SU(2)} C^2$ 上一个和乐群等于 $G_2$ 的不完备余齐性一黎曼度规。