带边界的三维流形的极小结晶化

设 $(\Gamma,\gamma)$ 为具有 $h$ 个边界分支的连通紧致三维流形 $M$ 的一个结晶化。令 $\mathcal{G}(M)$ 和 $\mathit k (M)$ 分别为 $M$ 的正则亏格和 gem 复杂度，并令 $\mathcal{G}(\partial M)$ 为 $\partial M$ 的正则亏格。我们证明 $$\mathit k (M)\geq 3 (\mathcal{G}(M)+h-1) \geq 3 (\mathcal{G} (\partial M)+h-1).$$ 这些关于 $M$ 的 gem 复杂度的界对若干带边界的三维流形是紧的。进一步，我们证明若 $\partial M$ 连通且 $\mathit k (M)< 3 (\mathcal{G} (\partial M)+1)$，则 $M$ 为柄体。特别地，我们证明若 $M$ 为柄体则 $\mathit k (M) =3 \mathcal{G} (\partial M)$，若 $M$ 非柄体则 $\mathit k (M) \geq 3 (\mathcal{G} (\partial M)+1)$。此外，我们获得了带边界的三维流形结晶化的若干组合性质。