PL 4-流形的正则属与 gem-复杂度的下界

在结晶理论中，已引入并研究了 $d$-流形的两个有趣的 PL 不变量，即 {\it gem-复杂度} 和 {\it 正则属}。在本文中，我们证明了对于任何闭连通 PL $4$-流形 $M$，其 gem-复杂度 $\mathit{k}(M)$ 和正则属 $\mathcal G(M)$ 满足：$$\mathit{k}(M) \ \geq \ 3 \chi (M) + 10m -6 \ \ \ \text{和} \ \ \ \mathcal G(M) \ \geq \ 2 \chi (M) + 5m -4,$$ 其中 $rk(\pi_1(M))=m$。这些下界能够严格改进先前已知的积 4-流形正则属和 gem-复杂度的估计值。此外，引入了 {\it 半单结晶} 类，使得所表示的 PL 4-流形达到上述下界。还证明了对于此类 PL 4-流形（包括现有结晶目录中涉及的所有“标准型”流形及其连通和），gem-复杂度和正则属关于连通和具有可加性。