关于带边 PL 4-流形的正则亏格与 G-次数

在本文中，我们引入两个新的 PL-不变量：带边流形的加权正则亏格与加权 G-次数。我们首先证明涉及某些 PL-不变量的两个不等式，其表明对任意具有非球面边界分支的 PL-流形 $M$，$M$ 的正则亏格 $\mathcal{G}(M)$ 至少为其加权正则亏格 $\tilde{G}(M)$，而后者又至少为其广义正则亏格 $\bar{G}(M)$。另一不等式表明 $M$ 的加权 G-次数 $\tilde{D}_G (M)$ 总是大于或等于 $M$ 的 G-次数 $D_G (M)$。设 $M$ 为任意具有 $h$ 个非球面边界分支的紧连通 PL $4$-流形。则我们计算如下：$$\tilde{G} (M) \geq 2 \chi(M)+3m+2h-4+2 \hat{m} \mbox{ 且 } \tilde{D}_G (M) \geq 12(2 \chi(M)+3m+2h-4+2 \hat{m}),$$ 其中 $m$ 和 $\hat{m}$ 分别为 $M$ 及其相应奇异流形 $\widehat{M}$（通过锥化 $M$ 的边界分支得到）的基本群的秩。作为推论，我们证明正则亏格 $\mathcal{G}(M)$ 满足如下不等式：$$\mathcal{G} (M) \geq 2 \chi(M)+3m+2h-4+2 \hat{m},$$ 这改进了先前已知的 $M$ 的正则亏格 $\mathcal{G}(M)$ 的下界。然后我们为带边 PL $4$-流形 $M$ 定义两类 gem：一类由半简单 gem 组成，另一类由弱半简单 gem 组成，并证明加权 G-次数与加权正则亏格的下界分别在这两类中达到。