平衡3维与4维流形的边着色对偶图的嵌入

本文聚焦于源自拓扑组合学的一类正规边着色图，并研究它们在曲面上的嵌入。具体而言，这些图被称为平衡正规伪流形的对偶图。我们引入了平衡亏格的概念，表示正规伪流形的对偶图能够正规嵌入的曲面的最小亏格。作为核心结果，我们证明对于任何非球面的3维流形 $M$，其平衡亏格满足下界 $\mathcal{G}_M \geq m+3$，其中 $m$ 是 $M$ 的基本群的秩。进一步，我们证明3维流形 $M$ 同胚于3维球面当且仅当其平衡亏格 $\mathcal{G}_M$ 至多为3。类似地，对于4维流形，我们证明如果 $M$ 不同胚于球面，则其平衡亏格的下界为 $\mathcal{G}_M \geq 2\chi(M) + 5m + 11$。此外，4维流形 $M$ PL同胚于4维球面当且仅当其平衡亏格满足 $\mathcal{G}_M \leq 2\chi(M) + 10$。我们相信平衡亏格为图论与组合学提供了新视角，并将启发该领域与代数组合学相关的进一步发展。为此，我们概述了未来研究的几个方向。