紧 PL $4$-流形的宝石诱导三分剖分

通过(奇异)三角剖分研究闭光滑 $4$-流形的三分剖分、并赋予由三种颜色构成的合适顶点标记的思想源于 Bell、Hass、Rubinstein 与 Tillmann,且已被 Spreer 与 Tillmann 应用于与所谓标准单连通 $4$-流形的简单结晶相关联的着色三角剖分。本文沿两个不同方向推广这些思想:首先,我们也考虑带连通边界的紧 PL $4$-流形,引入三分剖分至边界情形的可能推广;其次,我们分析不仅由简单结晶、而且由任何编码单连通 $4$-流形的 5-色图所诱导的三分剖分。这一扩展概念被称为宝石诱导三分剖分,并产生 G-三分剖分亏格,推广了著名的三分剖分亏格。在闭流形与边界情形中,我们给出 5-色图的条件,确保其宝石诱导三分剖分(若存在)实现 G-三分剖分亏格,并证明如何直接从图本身确定它。此外,对于缺乏 1-柄与 3-柄的柄分解的每个紧单连通 PL 4-流形,获得了宝石诱导三分剖分的存在性以及通过手术描述对 G-三分剖分亏格的估计。作为推论,我们证明对所有 $\mathbb D^2$-丛的 $\mathbb S^2$,G-三分剖分亏格等于 $1$,因此它不是有限对一的。