通过 Lefschetz 纤维化构造 4-流形的三分解

我们发展了一种技术，用于粘合具有非空连通边界的 $4$-流形的相对三分解图，以获得闭 $4$-流形的三分解图。作为应用，我们通过由 Lefschetz 纤维化的消没循环确定的显式图，描述了任何允许在 $S^2$ 上具有平方 $-1$ 截面的 Lefschetz 纤维化的闭 $4$-流形的三分解。特别地，我们获得了某些一般型的单连通极小复曲面的三分解图。作为推论，我们获得了一对同胚但不微分同胚的闭 $4$-流形的显式三分解图。此外，我们描述了任意闭曲面上任意定向 $S^2$-丛的三分解，特别是使用我们的粘接技术绘制了 $T^2 \times S^2$ 和 $T^2 \tilde{\times} S^2$ 的相应图。进一步地，我们给出了 Gay 和 Kirby 最近一个结果的替代证明，即每个闭 $4$-流形都允许三分解。我们证明的关键特征是 Cerf 理论让位于接触几何。