容许简单结晶的 PL 4-流形：带标号链环与正则亏格

简单结晶是边着色图，用于表示 PL 4-流形，其性质是相关三角剖分的 1-骨架等于 4-单形的 1-骨架。在本文中，我们证明了任何容许简单结晶的（单连通）PL $4$-流形 $M$ 也容许特殊的柄体分解；等价地，$M$ 可由一个带标号链环表示，该链环生成 $\mathbb S^3$，且恰好包含 $\beta_2(M)$ 个分量（其中 $\beta_2(M)$ 为 $M$ 的第二 Betti 数）。由此推得，$M$ 的正则亏格被证明为 $\beta_2(M)$ 的两倍。此外，通过 $k(M)= 3 \beta_2(M)$ 对任何此类 PL $4$-流形进行刻画（其中 $k(M)$ 是 $M$ 的 gem-复杂度，即非负数 $p-1$，而 $2p$ 是 $M$ 的结晶的最小阶数），意味着 gem-复杂度和正则亏格这两个 PL 不变量在所有容许简单结晶的 PL 4-流形类中（特别是在所有“标准”单连通 PL 4-流形类中）均是可加的。