PL 4-流形的极小亏格结晶化

对于 $d\geq 2$，闭连通 PL $d$-流形 $M$ 的正则亏格是指 $M$ 的结晶化正则嵌入其中的可定向曲面（相应地，不可定向曲面亏格的一半）的最小亏格。每个可定向曲面的正则亏格等于其亏格，每个 3-流形的正则亏格等于其 Heegaard 亏格。对于每个闭连通 PL $4$-流形 $M$，已知其正则亏格 $\mathcal G(M)$ 至少为 $2 \chi (M) + 5m -4$，其中 $m$ 为 $M$ 的基本群的秩。在本文中，我们对每个闭连通 PL $4$-流形 $M$ 引入“弱半单结晶化”的概念，并证明 $\mathcal G(M)= 2 \chi (M) + 5m -4$ 当且仅当 $M$ 允许弱半单结晶化。然后我们证明，在所有允许弱半单结晶化的 PL 4-流形类中，PL 不变量正则亏格在连通和下是可加的。此外，我们注意到该性质与四维光滑 Poincaré 猜想有关。