4-流形的分支覆盖表示

我们为将有界和/或非紧的 4-流形提供新的分支覆盖表示，推广了已知的闭 4-流形上的表示。假设 $M$ 是一个连通有向 PL 4-流形，我们的主要结果如下：(1) 若 $M$ 是带（可能为空）边界的紧流形，则存在简单分支覆盖 $p:M \to S^4 - \mathop{\mathrm{Int}}(B^4_1 \cup \dots \cup B^4_n)$，其中 $B^4_i$ 是互不相交的 PL 4-球，$n \geq 0$ 是 $M$ 的边界分支数；(2) 若 $M$ 是开流形，则存在简单分支覆盖 $p : M \to S^4 - \mathop{\mathrm{End}} M$，其中 $\mathop{\mathrm{End}} M$ 是 $M$ 的末端空间，温顺地嵌入于 $S^4$ 中。在两种情形下，覆盖度 $d(p)$ 与分支集 $B_p$ 可假设满足以下条件之一：(1) $d(p)=4$ 且 $B_p$ 是一个适当自横截浸入的局部平坦 PL 曲面；(2) $d(p)=5$ 且 $B_p$ 是一个适当嵌入的局部平坦 PL 曲面。在紧（相应开）的情形下，通过放宽对覆盖度的假设，我们可以取 $B^4$（相应 $R^4$）作为覆盖的基空间。我们还定义了拓扑流形之间分支覆盖的概念，推广了 PL 范畴中的通常概念。在此框架下，作为上述结果的一个有趣推论，我们证明了任意闭有向拓扑 4-流形都是 $S^4$ 的 4 重分支覆盖。根据 4-流形的近可光滑性，该分支覆盖可能在单点处是野的。