PL $d$-流形的半等变 gems

我们为闭连通 PL $d$-流形定义了 $(p_0,p_1,\dots,p_d)$ 型半等变 gems（semi-equivelar gems）的概念，其关联于表示 $M$ 的 gems $\Gamma$ 在曲面 $S$ 上的正则嵌入（regular embedding），使得 $\Gamma$ 在 $S$ 上所有顶点的面环（face-cycles）均为同型。该术语受曲面的半等变地图（semi-equivelar maps）启发。给定具有非负欧拉示性的曲面 $S$，我们求出 $S$ 上所有正则嵌入类型，并进而构造嵌入于 $S$ 的每种此类类型的一个亏格极小半等变 gem（若存在）。此外，我们给出如下半等变 gems 的构造：(1) 对每个闭连通曲面 $S$，我们构造一个表示 $S$ 的亏格极小半等变 gem。特别地，对 $S=\#_n (\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1)$（相应地，$\#_n(\mathbb{RP}^2)$），构造了 $((4n+2)^3)$ 型（相应地，$((2n+2)^3)$ 型）的半等变 gem。(2) 对正则亏格至多为 $1$ 的闭连通可定向 PL $d$-流形 $M$（其中 $d \geq 3$），我们证明 $M$ 承认亏格极小半等变 gem 当且仅当 $M$ 为透镜空间（lens space）。此外，若考虑带 $2$-边形的半等变 gems，则对正则亏格 $\mathcal{G}(M)\leq 1$ 的闭连通可定向 $d$-流形 $M$（其中 $d \geq 3$），$M$ 承认（带二边形的）亏格极小半等变 gem。