牛顿最小阻力问题中的鼻部拉伸法

我们考虑问题 $\inf\big\{ \int\!\!\int_\Omega (1 + |\nabla u(x,y)|^2)^{-1} dx dy : \text{ 函数 } u : \Omega \to \mathbb{R} \text{ 为凹函数且对所有 } (x,y) \in \Omega =\{ (x,y): x^2 + y^2 \le 1 \} \text{ 有 } 0 \le u(x,y) \le M \, \big\}$（牛顿问题）及其推广。在文献 \cite{BrFK} 中证明了若解 $u$ 在开集 $\mathcal{U} \subset \Omega$ 内为 $C^2$，则 $\det D^2u = 0$ 于 $\mathcal{U}$。由此可知 graph$(u)\rfloor_\mathcal{U}$ 不含 $u$ 子图的极值点。本文证明了一个稍强的结果。即，存在具有如下性质的解 $u$：若 $u$ 在开集 $\mathcal{U} \subset \Omega$ 内为 $C^1$，则 graph$(u\rfloor_\mathcal{U})$ 不含凸体 $C_u = \{ (x,y,z) :\, (x,y) \in \Omega,\ 0 \le z \le u(x,y) \}$ 的极值点。作为推论，我们有 C_u = \text{\rm Conv} (\overline{\text{\rm SingC_u}})，其中 Sing$C_u$ 表示 $\partial C_u$ 的奇点集。我们对广义牛顿问题证明了类似结果。