牛顿最小阻力问题的解由其奇异集唯一确定

设 $u$ 在满足 $0 \le u \le M$ 的凸函数类 $u : \Omega \to {\mathbb R}$ 中最小化泛函 $F(u) = \int_\Omega f(\nabla u(x))\, dx$，其中 $\Omega \subset {\mathbb R}^2$ 是内部非空的紧凸域且 $M > 0$，$f : {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$ 是 $C^2$ 函数，且 $\{ \xi : \, \text{the smallest eigenvalue of} \, f"(\xi) \, \text{is zero} \}$ 是 ${\mathbb R}^2$ 中的闭无处稠密集。设 epi$(u)$ 表示 $u$ 的上图。则 epi$(u)$ 的任何极值点 $(x, u(x))$ 都包含在 epi$(u)$ 奇点集的闭包中。作为推论，最优函数 $u$ 由 epi$(u)$ 的奇点集唯一确定。该结果适用于经典的牛顿问题，其中 $F(u) = \int_\Omega (1 + |\nabla u(x)|^2)^{-1}\, dx$。