函数与域的最小阻力问题
经典分析与常微分方程
2013-09-26 v1 动力系统
摘要
本文解决了 Comte 和 Lachand-Robert 在 (2001) 年提出的问题。取 R^2 中的一个有界域\Omega和一个分段光滑的非正函数 u : \bar{\Omega} \to R，该函数在\Omega的边界上为零。考虑垂直下落的点粒子流并从 u 的图像弹性反射。假设每个粒子最多反射一次（不允许多次反射）；此时图像对流的阻力表示为 F(u;\Omega) = \frac{1}{|\Omega|} \int_\Omega (1 + |\nabla u(x)|^2)^{-1} dx。需要找到\inf_{\Omega,u} F(u;\Omega)。容易看出，对于所有正则点 x \in \Omega，有|\nabla u(x)| < 1，因此总是有 F(u;\Omega) > 1/2。我们证明 F 的下确界恰好是 1/2。这一结果有些悖论性质，其证明灵感部分来源于 Besicovitch 对 Kakeya 问题给出的悖论性解法，且与之部分相似。
引用
@article{arxiv.1309.6441,
title = {The problem of minimal resistance for functions and domains},
author = {Alexander Plakhov},
journal= {arXiv preprint arXiv:1309.6441},
year = {2013}
}