关于凸体牛顿最小阻力问题的一个注记

我们考虑如下问题：在凹函数类 $u: \Omega \to [0,M]$ 中最小化泛函 $\int_\Omega f(\nabla u(x))\, dx$，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 为凸体且 $M > 0$。若 $f(x) = 1/(1 + |x|^2)$ 且 $\Omega$ 为圆，则该问题称为牛顿最小阻力问题。已知该问题至少存在一个解。我们证明，若 $\partial\Omega$ 上所有点均为正则点，且当 $|x|/|y| \to 0$ 时 ${|x|f(x)}/(|y|f(y)) \to +\infty$，则问题的解 $u$ 满足 $u\rfloor_{\partial\Omega} = 0$。该结果证明了 1993 年提出的关于牛顿问题的猜想。