二维牛顿最小阻力问题
最优化与控制
2007-10-14 v1
摘要
牛顿最小阻力问题是最优控制的最早问题之一：它由艾萨克·牛顿在其杰出的《自然哲学的数学原理》中于 1686 年提出并给出解。该问题在于三维情形中确定具有给定半径和高度的轴对称物体的形状，该物体在阻力介质中运动时提供最小阻力。该问题有非常丰富的历史，并在文献中有充分记载。当然，乍一看，人们会怀疑二维情形应是众所周知的。然而，我们查阅了大量文献并询问了至少同样多的问题专家，却未能找到任何一个来源。每个思考过该问题的人都认为解是显然的，而将其写下总被认为不值得。在此我们表明事实并非如此：二维问题比经典问题更丰富，在某种意义上更有趣。新颖之处包括：(i) 虽然在经典三维问题中只有受限情形有意义（对容许函数单调性的无限制下问题不承认局部极小），我们证明在二维中当物体的高与底半径之比大于给定量时，无限制问题也是适定的；(ii) 虽然在三维中（受限）问题有唯一解，我们表明在受限二维问题中极小元不总是唯一的——当物体的高度小于或等于其底半径时，存在无穷多个极小函数。
引用
@article{arxiv.math/0607197,
title = {Two-dimensional Newton's Problem of Minimal Resistance},
author = {Cristiana J. Silva and Delfim F. M. Torres},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0607197},
year = {2007}
}
备注
Presented at the 4th Junior European Meeting on "Control and Optimization", Institute of Mathematics and Physics, Bialystok Technical University, Bialystok, Poland, 11-14 September 2005. Accepted (06-July-2006) to Control & Cybernetics