论牛顿最小阻力问题解的奇点结构

我们考虑 Buttazzo 与 Kawohl 于 1993 年提出的如下问题：在凹函数类 $u: \Omega \to [0,M]$ 中最小化泛函 $\int\!\!\int_\Omega (1 + |\nabla u(x,y)|^2)^{-1} dx\, dy$，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 为凸域且 $M > 0$。该问题推广了 I. Newton 于 1687 年最初在限制更强的径向函数类中提出的经典极小化问题。此问题至今未解；甚至关于其解之奇点结构一无所知。本文中，我们首先求解一族辅助的二维最小阻力问题，然后将所得结果应用于研究原问题解的奇点。更确切地说，我们导出一个点为解的脊型奇点的必要条件，并特别证明所有具有水平边的脊型奇点均位于顶层与零层集上。