等质量一维$N$体问题的作用量极小化解

当我们使用变分法研究 Newton$N$体问题时，主要问题是如何避免碰撞。C. Marchal 得到了一个显著结果：只要物理空间$\mathbb{R}^d$的维数$d$满足$d\geq2$，那么在两个给定构型之间使 Lagrangian 作用量泛函极小化的路径总是真正的（无碰撞）解。但是 Marchal 的思想不适用于一维物理空间的情形。在本文中，我们将研究等质量一维 Newton$N$体问题的固定端点问题，以补充 Marchal 的结果。更确切地说，我们首先得到了两个给定构型之间使作用量泛函极小化的路径其碰撞时刻的孤立性；随后，若两端点处粒子的顺序相同，则使作用量泛函极小化的路径总是真正的（无碰撞）解；否则，尽管任何路径必然存在碰撞，我们可以证明任何作用量极小化路径上的碰撞次数至多为$N! - 1$次。