单次撞击假设下曲线的最小阻力

我们考虑半平面 $\{(x,y) : y \le 0\} \subset \mathbb{R}^2$ 中由函数 $u : (-1, 1) \to \mathbb{R}$ 定义的凹坑，其中 $u(x) < 0$，以及入射到该凹坑的垂直点粒子流。假设 $u$ 满足所谓的单次撞击条件（SIC）：每个入射粒子被 graph$(u)$ 弹性反射后离开，不再撞击 $u$ 的图像。我们解决了以下问题：寻找使流产生的阻力最小的函数 $u$。我们表明，最小化者的图像由关于 $y$ 轴对称的两段抛物线弧组成。假设 $u \equiv 0$ 的阻力等于 1，我们证明最小阻力等于 $\pi/2 - 2\arctan(1/2) \approx 0.6435$。这一结果完善了先前获得的结果，该结果特别指出高维空间中凹坑的最小阻力等于 0.5。我们还额外考虑了一个类似的最小阻力问题，其中半空间 $\{(x_1,\ldots,x_d, y) : y \le 0 \} \subset \mathbb{R}^{d+1}$ 中的凹坑由满足 SIC 的径向函数 $U$ 定义，$U(x) = u(|x|)$，其中 $x = (x_1,\ldots,x_d)$，当 $0 \le \xi < 1$ 时 $u(\xi) < 0$，当 $\xi \ge 1$ 时 $u(\xi) = 0$，且流平行于 $y$ 轴。最小阻力大于 $0.5$（当 $d = 1$ 时与 $0.6435$ 重合），并且当 $d \to \infty$ 时收敛于 $0.5$。