Hofer 的 $L^{\infty}$-几何:哈密顿流的能量与稳定性,第二部分

在本文中,我们首先证明前文引入的必要条件也是 $\Ham^c(M)$(紧支集哈密顿辛同胚群)中一条路径为测地线的充分条件。这在 $M$ 上无任何限制时均成立。然后我们讨论保证此类路径极小化 Hofer 长度的条件。我们的论证依赖于一个一般的几何构造(单值的黏合)以及 Gromov 非挤压定理到更一般流形和更一般容量的推广。我们考虑的流形是拟柱面,即同胚于 $M \times D^2$ 且在 $D^2$ 上辛直纹的空间。当我们使用通常的容量(由嵌入球导出)时,只要 $M$ 是半单调的,我们就能证明在所有同伦路径中存在极小化长度的路径。(此限制源于任意 $M$ 上 $J$-全纯曲线理论众所周知的困难。)然而,我们只能在 $M$ 上更严格的条件下证明极小长度路径(即极小化长度于{\it 所有}路径而非仅同伦路径之间的路径)的存在性,例如当 $M$ 是恰当且凸的或维数为 $2$ 时。新的困难由 $\Ham^c(M)$ 中存在非平凡且极短环路的可能性引起。当此类极小长度路径确实存在时,我们可以推广 Bialy--Polterovich 对恒等映射邻域上 Hofer 范数的计算($C^1$-平坦性)。