长度极小性质、Conley-Zehnder 指标与哈密顿函数的 $C^1$-扰动

本文的主要目的在于研究闭辛流形 $(M,\omega)$ 上哈密顿路径的长度极小性质，这些流形满足不存在球面同调类 $A \in H_2(M)$ 使得 $$\omega(A) > 0 \quad \text{and} \quad -n \leq c_1(A) < 0,$$ 我们称之为{\it 非常强半正}。我们引入{\it 正 $\mu$-欠扭}哈密顿路径的概念，并证明任意正欠扭拟自治哈密顿路径在其同伦类中是长度极小的，只要它有一个固定的极大点和一个固定的极小点且它们在通常意义下是欠扭的。这类哈密顿量可以具有非常数的大周期轨道。证明使用了链水平 Floer 理论、哈密顿微分同胚的谱不变量以及涉及扰动 Cauchy-Riemann 方程的 Floer 模空间的厚-薄分解的论证。然后基于该定理以及长度极小性质的某种闭性，我们将非常强半正辛流形上的极小性猜想与一般的辛流形上哈密顿函数的 $C^1$-扰动问题联系起来，后者我们也在此给出表述。