拉普拉斯方程的最大奇异解

已知存在显式函数 $F \in L^2(\Omega)$（其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中给定有界开子集），使得拉普拉斯边值问题 $-\Delta u=F(x)$、$u\in H_0^1(\Omega)$ 的相应弱解最大奇异；即 $u$ 的奇异集（在引言中定义）的豪斯多夫维数等于 $(N-4)^+$。该常数是最优的，即可能的最大值。此处我们证明更多结论：当 $N \geq 5$ 时，存在 $F\in L^2(\Omega)$ 使得相应弱解的奇异集在点态意义上（按豪斯多夫维数）在 $\Omega$ 所有点处集中，维数等于 $N-4$。我们也考虑生成具有对比性质的弱解的问题；即我们构造在 $\Omega$ 的任意指定开子集 $\Omega_r$ 中正则（更具体地，对任意 $\alpha\in(0,1)$ 属 $C_{loc}^{2,\alpha}$ 类）而在其补集 $\Omega\setminus\Omega_r$ 中最大奇异的解 $u$。我们指出了若干开放问题。