Madelung 力学与超振荡

在单粒子 Madelung 力学中，单粒子量子态 $\Psi(\vec{x},t) = R(\vec{x},t) e^{iS(\vec{x},t)/\hbar}$ 被解释为包含整个由经典点粒子组成的守恒流体，其局部密度为 $R(\vec{x},t)^2$，局部动量为 $\vec{\nabla}S(\vec{x},t)$（其中 $R$ 和 $S$ 为实数）。薛定谔方程导出了流体的连续性方程，以及流体粒子的 Hamilton-Jacobi 方程，该方程包含一个额外的依赖于密度的量子势能项 $Q(\vec{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\vec{\nabla}R(\vec{x},t)}{R(\vec{x},t)}$，这正是使流体行为非经典化的全部原因。特别是，量子势可以变为负值，并在动能中产生非经典的增强。这种增强与波函数的超振荡有关，其中 $\Psi$ 的局部频率超过了其全局带限。Berry 证明了对于确定能量 $E$ 的态，超振荡区域恰好是 $Q(\vec{x},t)<0$ 的区域。对于带限为 $E_+$ 的能量叠加态，情况稍微复杂一些，界限不再是 $Q(\vec{x},t)<0$。然而，流体模型为每个流体粒子提供了确定的局部能量，这允许我们定义超振荡的局部带限，并且根据这一定义，对于一般叠加态，所有超振荡区域再次成为 $Q(\vec{x},t)<0$ 的区域。我们回顾并推进了涉及约化量子势的这些量的另一种解释，并给出了该图像中超振荡的平行讨论。文中给出了详细的例子，以说明量子势和超振荡在一系列场景中的作用。