有理齐次接触流形上最低次不变二阶偏微分方程

对于每个单李代数 $\mathfrak{g}$（出于平凡原因排除 ${\sf C}$ 型），我们在 $\mathbb{P}\mathfrak{g}$ 中的伴随簇（一个齐次接触流形）上找到了不变二阶 PDE 的最低可能次数。这里，如果 PDE $F(x^i,u,u_i,u_{ij})=0$ 中的 $F$ 是 $(u_{ij})$ 的子式中次数 $\le d$ 的多项式，其系数为接触坐标 $x^i$、$u$、$u_i$ 的函数（例如，Monge-Amp\`ere 方程的次数为 1），则该 PDE 的次数为 $\le d$。对于 ${\sf A}$ 型或 ${\sf G}$ 型的 $\mathfrak{g}$，我们证明这给出了所有不变二阶 PDE。对于 ${\sf B}$ 型和 ${\sf D}$ 型的 $\mathfrak{g}$，我们提供了最低次不变二阶 PDE 的显式公式。对于 ${\sf E}$ 型和 ${\sf F}$ 型的 $\mathfrak{g}$，我们证明了最低次不变二阶 PDE 的唯一性；我们还猜想唯一性在 ${\sf D}$ 型中也成立。