超曲面上的射影与仿射不变偏微分方程

在 [Alekseevsky, Gutt, Manno, Moreno: "A general method to construct invariant PDEs on homogeneous manifolds", Communications in Contemporary Mathematics (2021)] 中，作者发展了一种在温和的李群 $G$ 假设下，构造 $(n+1)$ 维齐性空间 $G/H$ 的超曲面上 $G$-不变偏微分方程的方法。本文将该法应用于 $G=\mathsf{PGL}(n+1)$ 或 $G=\mathsf{Aff}(n+1)$，且齐性空间 $G/H$ 分别为 $(n+1)$ 维射影空间 $\mathbb{P}^{n+1}$ 或仿射空间 $\mathbb{A}^{n+1}$ 的情形。本文的主要结果是：具有 $n$ 个独立变量和一个未知变量的射影或仿射不变偏微分方程，与 $n$ 个变量的无迹三次形式空间中 $\mathsf{CO}(d,n-d)$-不变超曲面一一对应。文中也给出了局部描述。