带阻尼 Benjamin-Ono 方程解的长时行为

我们考虑环面上的 Benjamin-Ono 方程，并在最小 Fourier 模式（cos 与 sin）上附加阻尼项。首先证明该方程在 $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$ 中的全局适定性。随后，我们刻画当时间趋于无穷时 $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$ 中轨迹的弱极限点，并证明这些弱极限点也是强极限点。最后，证明该方程高阶 Sobolev 范数的有界性。我们的关键工具是 Benjamin-Ono 方程的 Birkhoff 映射，将其用作自适应的非线性 Fourier 变换。