Benjamin-Ono 方程作为内波水波模型的严格论证

在本文中，我们首次在物理时间尺度上给出了 Benjamin-Ono 方程作为内波水波模型的严格论证。令 $\varepsilon$ 为衡量波动弱非线性的小参数，$\mu$ 为浅水参数，$\gamma\in (0,1)$ 为两层流体密度之比。确切地说，我们首先证明了具有表面张力的两层流体（一层为浅水深度，另一层为无限深度）的内波水波方程解的存在性。对于少量表面张力使得 $\varepsilon^2 \leq\mathrm{bo}^{-1}$（其中 $\mathrm{bo}$ 为 Bond 数）时，存在时间量级为 $\mathcal{O}(\frac{1}{\varepsilon})$。进而，我们证明这些解在同一时间尺度上以 $\mathcal{O}(\mu + \mathrm{bo}^{-1})$ 量级的精度接近于 BO 方程的解。此外，我们给出了具有改进频散性质的新的方程、Benjamin 方程以及深水极限下的中长波（ILW）方程的论证。两层流体问题的长时间适定性最早由 Lannes [Arch. Ration. Mech. Anal., 208(2):481-567, 2013] 在两层流体均为有限深度的情况下研究。此处，我们将该工作推广到其中一层流体域为有限深度、另一层为无限深度的情况。证明的新颖性在于问题的几何结构：域的差异改变了所涉及的 Dirichlet-Neumann 算子的函数论框架。特别地，我们研究了这些算子的各种复合，需要对无限深度上的 Dirichlet-Neumann 算子进行精细的符号分析，并推导出可能具有独立意义的新拟微分估计。