Whitham方程与Whitham-Boussinesq系统的改进存在时间

本文研究了一维和二维浅水区水波方程导出的两个全色散模型解的存在时间：Whitham方程和一个Whitham-Boussinesq系统。该区域由非线性参数$\epsilon\in(0,1]$和浅水参数$\mu\in(0,1]$表征。我们将解的生命周期延长到双曲时间$\epsilon^{-1}$之外。更精确地说，我们在一维情形下建立了时间尺度为$\mu^{\frac{1}{4}^-}\epsilon^{(-\frac{5}{4})^+}$的适定性，在二维情形下建立了时间尺度为$\mu^{\frac{1}{4}^-}\epsilon^{(-\frac{3}{2})^+}$的适定性。我们强调，对于二维情形，我们在长波区域$\mu \sim \epsilon$获得了存在时间为$\epsilon^{-\frac54}$量级的结果。这类结果似乎是新的，即使对于Boussinesq系统也是如此。证明结合了能量方法与Strichartz估计。这里的一个关键要素是获得了包含小参数$\mu$的新的精细Strichartz估计。这些技术是稳健的，可以用于改进其他同类方程和系统解的生命周期。