Whitham-Boussinesq 系统的长时间适定性

我们考虑三个不同的全频散 Boussinesq 系统，它们作为浅水中弱非线性表面波双向传播渐近模型而出现。我们证明，在初始数据的非空化条件下，这三个系统在 $\mathcal{O}(\frac1\varepsilon)$ 量级的时间尺度上适定，其中 $\varepsilon$ 为衡量波弱非线性的小参数。对于其中一个系统，即便短时间情形该结果似乎也是新的。另两个系统涉及表面张力，且对于其中之一，当表面张力较小时须强化非空化条件。证明依赖于适当的对称化子与双曲系统的经典理论。然而，我们须在交换子估计中仔细追踪小参数以获得长时间适定性。最后，将我们的结果与 Emerald 近期结果相结合，可在比经典 $(a,b,c,d)$-Boussinesq 系统更广的 regime 范围内对这些系统作为水波模型提供完整论证。