本杰明方程长程波的存在性与稳定性

在本杰明 (Benjamin) 于70年代初的 seminal work 中，他推导了这个通用的本杰明模型，这是水波理论中的一个简化模型。值得注意的是，它在其色散部分包含两个参数，并且在某些特殊情况下，可退化为著名的KdV方程或本杰明-奥诺方程 (Benjamin-Ono equation)。在80年代，人们对其再度关注。本杰明 \cite{Ben1}, \cite{Ben2} 研究了孤立波的存在性问题，随后Bona-Chen \cite{BC}, Albert-Bona-Restrepo \cite{ABR}, Pava \cite{Pava1} 等人通过变分方法和分岔方法证明了长程波的存在性。一些关于稳定性的结果也逐渐出现，但不幸的是，这些结果仅限于小波或本杰明模型接近一个显著点（即KdV或BO极限）的情况。最近，Abdallah, Darwich 和 Molinet \cite{ADM} 证明了这些波的存在性、轨道稳定性和唯一性结果，但仅针对 $\f{c}{\ga^2}>>1$ 的大值。本文提出了一种替代的受约束最大化程序，用于构造这些波，覆盖全部参数范围，从而确定其谱稳定性。此外，我们将该构造推广到所有 $L^2$ 亚临界情形（即幂非线性 $(|u|^{p-2}u)_x$， $2<p\leq 6$）。最后，我们提出一种不同的方法，基于特定形式的 Sobolev 嵌入不等式，适用于所有 $2<p<\infty$ 的幂，但会产生一些不稳定的波，对于大 $p$。我们提出了一些开放问题和关于这一结果的猜想，以供进一步研究。