重访 Boussinesq 流体的锁交换问题：精确浅水解

在浅水(SW)近似下，针对两种密度略有差异的不可混溶流体，获得了锁交换问题的精确解；该问题是经典溃坝问题的两层类比。该问题通过特征线法并利用 Riemann 不变量的解析表达式求解。所得解代表了高雷诺数极限的无粘近似，一般是不连续的，包含多达三个水跃，这些水跃源于连续 SW 解的多值性或不稳定性。水跃通过应用 SW 质量与广义动量守恒方程的 Rankine-Hugoniot 条件来消解。后者含有一个自由参数 $\alpha$，它定义了各层对界面压力梯度的相对贡献。我们考虑 $\alpha=0$ 时的解，这对应于两层以相等权重系数影响界面压力梯度。将该解与分别对应于 $\alpha=-1$ 和 $\alpha\rightarrow\infty$ 的经典 Benjamin 前缘条件以及环量守恒条件所得的解进行比较。SW 解再现了粘性流体二维数值解的所有主要特征。当锋面达到在 $\alpha=\sqrt{5}-2$ 时出现的最大稳定高度时，发现重力流速度与实验和数值结果吻合良好。我们表明，两层 SW 质量与广义动量守恒方程能够以自洽的方式描述含水跃的界面波，而无需外部闭合条件。