Boussinesq地下水方程的后向相似解

本文研究了位于水平不透水层上的无压含水层中，在源水位快速增加的边界条件下的地下水流。新引入的条件，称为后向幂律水头条件，代表了一种相邻水体水位比常规问题增加更快的情况，而常规问题由于考虑了无限时间，只能代表水位上升条件下类似于行波的情况。该问题允许相似变换，通过玻尔兹曼变换将非线性偏微分方程转化为非线性常微分方程。约化后的边值问题被解释为常微分方程组的初值问题，可通过 Shampine 方法进行数值求解。数值解与同样引入 Boussinesq 方程的 Kalashinikov 特解吻合良好。我们发现该解与前向幂律水头条件的极限情况一致。通过假设解具有二次多项式形式，推导出了新的近似解析解及相应的湿润锋位置，从而能够描述真实锋面位置随时间的变化。将所得近似解与 Shampine 解进行比较以检验其精度。此外，将有限元法应用于原始偏微分方程，验证了 Shampine 解作为基准的可用性。