广义六阶 Boussinesq 方程的局部适定性

推导出了一个形式上二阶正确的 Boussinesq 型方程，用于描述单向浅水波：$$u_{tt} - u_{xx} - u_{xxxx} - u_{xxxxxx} - (u^2)_{xx} - (u^2)_{xxxx} - (uu_{xx})_{xx} - (u^3)_{xx} = 0.$$ 该方程类似于原始 Boussinesq 方程，但具有更高阶的近似，可能确保在长时间尺度上更精确的描述。此外，通过对 Boussinesq 系统的严格推导，它恢复了在六阶 Boussinesq 方程（SOBE）$$u_{tt} - u_{xx} - u_{xxxx} - u_{xxxxxx} - (u^2)_{xx} = 0$$ 中被忽略的所有非线性项。随后在 Bourgain 空间 $X^{s,b}$ 框架下考虑了该广义 SOBE 的 Cauchy 问题。给出了 $(u^2)_{xx}$、$(u^2)_{xxxx}$、$(uu_{xx})_{xx}$ 和 $(u^3)_{xx}$ 的多线性估计，并建立了 $s>\frac{1}{2}$ 时 gSOBE 的局部适定性。