固定与自适应运动网格上多层浅水方程的高阶精度保平衡能量稳定有限差分格式

本文针对固定与自适应运动网格上的多层（层数 $M\geqslant 2$）浅水方程（SWEs）发展了高阶保平衡（WB）能量稳定（ES）有限差分格式，扩展了我们先前的工作[20,51]。为获得能量不等式，通过寻找能量函数关于守恒变量的 Hessian 矩阵的首主子式或二次型的递推关系，证明了任意 $M$ 层能量函数的凸性；由于能量函数中层与层之间的耦合，这比单层情形更为复杂。发展高阶半离散 ES 格式的一个重要组成部分是构造两点能量守恒（EC）数值通量。为追求 WB 性质，给出了此类 EC 通量的一个充分条件，并配以类似于单层情形的源项相容离散。该条件可解耦为各层独立的 $M$ 个恒等式，从而便于为多层系统构造两点 EC 通量。为抑制间断附近可能出现的振荡，在高阶 WB EC 通量上加入基于 WENO 的耗散项，得到半离散高阶 WB ES 格式。采用高阶显式 SSP-RK 方法获得全离散格式，并证明其能保持静水状态。基于[51]中提出的技巧，依靠对重构系统修正后的能量函数，将格式进一步推广到运动网格。针对若干两层与三层情形进行了数值实验，以验证格式的高阶精度、WB 与 ES 性质以及高效性；由于多层系统特征结构缺乏解析表达式，通过估计最大波速选取了适量耗散。