利用 Richelot 同构图列举亏格为 3 的超特殊曲线

在代数几何中，超特殊曲线是重要的研究对象。虽然已知特征 $p$ 下亏格为 3 的超特殊曲线的数量，但其中超椭圆曲线的数量即使对于很小的 $p$ 也尚未确定。在本文中，为了计算后者的数量，我们给出了一个显式算法，利用 theta 函数计算维数为 3 的超特殊主极化阿贝尔簇的 Richelot 同构图。特别地，可以判断图中给定的顶点是否对应于亏格为 3 的曲线的雅可比簇，并从其 theta 常数恢复此类亏格为 3 的曲线的定义方程。我们的算法能够高效枚举超特殊亏格 3 曲线，因为所有运算均可在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 中执行。通过在 Magma 中实现该算法，我们成功统计了对于所有素数 $11 \leq p < 100$，其中超椭圆曲线的数量。