直线与有理曲线构型及 Walther 不等式

与任意直线构型相关的有两个不变量：自由亏量 $\nu(C)$ 及其上界 $\nu'(C)$，后者来自 Uli Walther 近期的一个结果。我们证明 $\nu'(C)$ 是由组合决定的，至少当 $C$ 中直线数目为奇数时如此，而 $\nu(C)$ 的同样性质仍为猜想。此外，我们猜想等式 $\nu(C)=\nu'(C)$ 成立当且仅当由 $d$ 条直线组成的本质构型 $C$ 具有一个重数为 $d-1$ 的点，或仅含二重点和三重点。我们在某些情形下证明了这两个猜想，特别是直线数不超过 10 时。我们还将 H. Schenck 关于直线构型的 Castenuovo-Mumford 正则性的结果推广到可能奇异的有理曲线构型。